Ante la incertidumbre de cómo va a ser el próximo curso, de momento, podemos aprovechar toda la información que hemos ido recibiendo para preparar actividades y trabajarlas en nuestras unidades didácticas. Ya sabíamos que la seguridad iba a ser un elemento muy importante en la nueva normalidad. Y los posibles rebrotes que la Administración y las autoridades sanitarias esperaban ya están aquí. Hacer frente a la evolución del COVID-19 entra en el espacio que los matemáticos reclaman para sus modelos predictivos. Entre ellos destacan tres curvas de las que se ha hablado en todos los medios y que tratan relaciones distintas. Toda curva va asociada a una relación o a una función. Este concepto está presente en el currículo de todos los niveles de Educación Secundaria y de Bachillerato. Por tanto, podemos elaborar actividades relacionadas con estas curvas en algunas de nuestras unidades.
La curva de la epidemia
La primera de ellas, la más popular, la curva de la epidemia, la que había que “aplanar”. Es decir, ralentizar la velocidad de transmisión, para intentar no colapsar el sistema sanitario. Esta curva es la gráfica de evolución del número de casos en el tiempo. Tal como explicaba Fernando Simón en las redes sociales del Ministerio de Sanidad, se trataba de implementar las medidas de control lo antes posible, para que ese “pico” fuera lo más bajo posible:
Y ahora estamos ante ese repunte y se trata de lo mismo, de “aplanar” la curva epidémica, que a 16 de agosto estaba así:
Fuente: https://cnecovid.isciii.es/covid19/#ccaa
Su forma es similar a la curva Normal o campana de Gauss. La distribución normal es muy importante porque es una aproximación de la distribución teórica de muchas de las variables que se estudian sobre una población determinada. Esta distribución se estudia en el bloque de Estadística y Cálculo de probabilidades de Bachillerato.
La gráfica del número de reproducción del virus
Otra de las curvas a tener en cuenta es la gráfica del número de reproducción del virus o número reproductivo básico, R0. Se trata del número de casos secundarios que produce cada caso primario, y estima la velocidad con que una enfermedad puede propagarse en una población. De forma intuitiva, tendríamos los términos de una progresión geométrica. Por ejemplo, si R0=2, el primer infectado contagiaría a 2 personas, y cada una de ellas a su vez a otras dos, y así sucesivamente tendríamos la serie (1, 2, 4, 8, 16…).
El concepto de progresión aritmética y geométrica (sucesiones) está en el currículo de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 3º ESO y se amplía en Matemáticas de 1º de Bachillerato. Lo que las autoridades sanitarias buscan es reducir el valor de R0 para que sea inferior a 1, “de forma que cada caso no incremente la curva, sino que la mantenga en una línea horizontal o, en caso de que bajemos de 1, desaparezca”, concluía Simón en la entrevista ya comentada. La curva que refleja la evolución de este número desde que empezó el confinamiento es:
Fuente: https://cnecovid.isciii.es/covid19/#ccaa
El cálculo de este número no es tan simple como parece, ya que hay que tener en cuenta muchos factores; las variables más utilizadas son el número de individuos susceptibles-infectados-recuperados -es lo que se llama modelo SIR– y la suma de todas ellas sería el tamaño de la población total. De forma intuitiva, R0 sería la razón entre la tasa de transmisión y la tasa de recuperación. Y estaríamos hablando de la resolución de ecuaciones diferenciales; puedes consultarlas en este enlace: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC6291769/
La curva de Gompertz
Y, por último, hablaremos de la curva de Gompertz. Esta toma el nombre del matemático Benjamin Gompertz, 1779-1865), el modelo matemático que permite hacer predicciones del comportamiento de la epidemia a corto plazo y que tras estudiar distintos indicadores puede prever su evolución a largo plazo. Esta es la idea básica de la interpolación, encontrar una curva que pase por los puntos observados, que nos permita aproximar y definir el valor de la función original en el resto de los puntos a través de una expresión algebraica lo más sencilla posible. O, de forma análoga, cuando buscamos una línea de regresión entre dos variables que sugieren algún tipo de dependencia, estamos buscando la que mejor se ajusta a la distribución de la nube de puntos que las representan; en el currículo de 1º de Bachillerato, este concepto sólo se estudia en casos de ajuste mediante una línea recta, la recta de regresión.
El modelo de Gompertz fue fundamental durante el confinamiento para que los expertos fueran comprobando, que con las medidas de control que se iban tomando, “el virus se está comportando correctamente y avanza de la manera esperada en España; la velocidad en la que crecerán los nuevos diagnósticos de coronavirus irá disminuyendo progresivamente”, como vaticinaba Daniel López, Investigador del Grupo de Biología Computacional y Sistemas Complejos de la UPC, en una entrevista en el mes de marzo.
Este modelo es un tipo de función logística, función matemática, refinamiento del modelo exponencial, que se utiliza en el estudio de diversos modelos de crecimiento de poblaciones y difusión de información. La función exponencial es un contenido del currículo de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 4º ESO. Este se amplía en 1º de Bachillerato por sus múltiples aplicaciones no sólo en el campo científico, sino en el ámbito de las Ciencias Sociales. La expresión algebraica de las funciones logísticas, de forma general, viene dada por:
Pues el modelo que mejor se ajusta a la curva del crecimiento de la población infectada es la gráfica de la función de Gompertz, cuya expresión es:
La propuesta del estudio es, a partir de los primeros valores de la curva (primeros 20-30 días), se obtienen los parámetros (a, b, c), y de esta forma, la curva completa. Y esto se puede utilizar para predecir el número total de casos por el covid-19 en un país o región, y cuándo se llega al punto de inflexión, es decir, momento en que el número de casos diarios empieza a descender. Para España, el gráfico de predicción de los casos acumulados por Gompertz (en el eje de abscisas el inicio es el primer día de epidemia, y la curva de casos diarios se corresponde con la derivada de G(t)), según el modelo de 19 de abril, era:
Fuentes: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7256556/ y
https://arxiv.org/pdf/2004.01207.pdf
La aplicación a las oposiciones de Matemáticas
Como veis, hay un montón de conceptos matemáticos relacionados con el coronavirus y que podemos trabajar con nuestros alumnos en esta vuelta a las clases tan poco “normal”.
Por último, recordemos en nuestro temario algunas de las unidades que podrían relacionarse con todos los conceptos mencionados::
- Tema 11: Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas.
- Tema 21: Funciones reales de variable real. Funciones elementales; situaciones reales en las que aparecen. Composición de funciones.
- Tema 22: Funciones exponenciales y logarítmicas. Situaciones reales en las que aparecen.
- Tema 24: Funciones dadas en forma de tabla. Interpolación polinómica. Interpolación y extrapolación de datos.
- Tema 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones
- Tema 32: Aplicación del estudio de funciones a la interpretación y resolución de problemas de la Economía, las C. Sociales y la Naturaleza.
- Tema 66: Distribuciones de probabilidad de variable continua. Características y tratamiento. La distribución normal. Aplicaciones.
Para leer más artículos de la misma temática, puedes visitar nuestro blog de Matemáticas, «El ágora de Teano» en: https://www.kiwaku.com/blog-de-matematicas/
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